现代控制理论基础（二）

4.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析

    考虑如下线性定常自治系统

(4.3)

式中，。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。

对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即

式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。

    沿任一轨迹的时间导数为

    由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有

式中

为正定矩阵。因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。为了判断n´n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。

 在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由

确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理。

定理4.8  线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程

这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov函数为

，

    特别地，当时，可取(正半定)。

    现对该定理作以下几点说明：

    (1) 如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为

    (2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。

    (3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程

以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。

注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件

则沿任意轨迹不恒等于零（见例4.18）。

    (4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。

    (5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素，将导致n(n+1)/2个线性方程。如果用表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和

则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么的和总不等于零。

    (6) 在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定

然后再检验P是否正定。

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[例4.5]  设二阶线性定常系统的状态方程为

显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。

[解] 不妨取Lyapunov函数为

    此时实对称矩阵P可由下式确定

上式可写为

    将矩阵方程展开，可得联立方程组为

    从方程组中解出、、，可得

    为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式

    显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为

    此时

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[例4.6]  试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。

图4.3  控制系统

[解] 容易推得系统的状态方程为

在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为

(4.4)

(4.5)

(4.6)

由式(4.4）到（5.6）可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为

(4.7)

 由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意

    取恒等于零，意味着也恒等于零。如果恒等于零，也必恒等于零，因为由式(4.6）可得

    如果恒等于零，也恒等于零。因为由式(4.4）可得